Разностные уравнения

Разностные уравнения [dif­ference equations] — уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Ко­нечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов х1, x2,…, xn). В экономических ис­следованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Например, о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt при­ходится брать среднюю скорость за определенный  конеч­ный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна единице, то скорость изменения величины можно представить как разность

y = y(t+1) — y(t),

которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности, y = y(t) — y(t — 1) — левая, а приведенная выше — правая. Можно определить вторую разность: Δy) = Δy(t + 1) — Δy(t) = y(t + 2) — 2y(t + 1) + y(t) и разности высших порядков Δ n.

Теперь можно определить Р.у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:

f [y(t),  Δ y(t), …, Δn y(t)] = 0.

Р.у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек

y(t), y(t+1), …, y(t+n).

При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р.у. стремится к решению соответствующего диф­ференциального уравнения, когда интервал Dt стремится к нулю.

При исследовании функций многих переменных, по аналогии с частными производными (см. Производная), вводятся также частные разности.