Многоэкстремальные задачи

Многоэкстремальные задачи [multi-extremality problems] — нелинейные задачи математического программирования, целевая функция которых может иметь как глобальный, так и локальные оптимумы. Такие задачи очень сложны для решения. Причину этого можно объяснить на следующем упрощенном примере (рис. M.3).

Функция y=f(x), изображен­ная жирной линией, — многоэкстремальна. Если двигаться по кривой от точки x1 к точке x2  (и не знать при этом дальнейшей формы кривой), то можно x2 принять за оптимальное значение переменной x: анализ покажет, что достигнут максимум функции f(x): первая производная функции в этой точке равна нулю, а вторая — отрицательна. Между тем, глобальный оптимум находится лишь в точке x3.

В М.з. соответственно существуют такие допустимые наборы значений управляющих параметров (инструменталь­ных переменных), которые являются наилучшими среди достаточно близких к ним наборов, но тем не менее не оптимальными.

Один из реальных подходов к решению М.з. состоит в том,  что какими-то дополнительными приемами кривая f(x) сглаживается и задача при­водится к одноэкстремаль­ной задаче программирования (см. на рис. M.3 пунктирную линию). Термин «М.з.» иногда сме­шивают с терминами «Век­тор­ные задачи» и «Многокритери­альные задачи». Это неправильно по причинам, объясненным в ст. Мно­гокритериальная оптимизация.

 

  Рис . М.3  Многоэкстремальная функция одного переменного (x1 = xopt)