Матрица игры

Матрица игры [game mat­rix] — в теории игр, теории решений, таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (например, исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии). Другие названия, отражающие разные подходы к определению элементов матрицы, но по существу аналогичные: Матрица выигрышей, Платежная матрица.

Допустим, перед нами конечная игра, в которой игрок X  может применить m  стратегий, а игрок Yn стратегий (т.е. игра имеет размерность m х n). Составим платежную матрицу, в которой по строкам покажем результаты ходов игрока X при использовании им каждой из возможных стратегий от x1 до xm-й  в условиях, когда игрок Y  применяет каждую из своих стратегий от y1 до yn-й. Uij   в ней обозначает выигрыш игрока X, когда он выбрал i-ю стратегию, а его противник j-ю стратегию (или, что то же в данном случае – проигрыш  игрока Y. Платежная матрица игры   выглядит так:

 y1   y2   …   yn
x1  U11   U12    .   U1n
x2  U21   U22    .   U2n
.   .    .   Uij    .
xm  Um1   Um2    .   Umn

В наших рассуждениях ничего не изменится, если будем рассматривать не игру, а просто принятие решения с учетом возможных условий. Тогда x — список альтернатив для принимающего решение, а y — список условий. Отсюда термин «игра с «природой», где «природа» означает совокупность условий, в которых должно осуществляться принятое решение. В отличие от противника в обычной игре, «природа» не обязательно враж­дебна принимающему решение, некоторые из условий y могут и благоприятствовать ему.

Построение платежной мат­рицы, в принципе, возможно для каждой конечной игры или вообще, для принятия решения при конечном числе альтернатив. Однако на практике это удается сделать только для относительно простых случаев (когда размерность задачи невелика). Применяется ряд приемов для сокращения матрицы, например, отсеивание заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.